阿罗不可能定理是由1972年诺贝尔经济学奖的获得者之一阿罗首先陈述和证明的。

1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。

阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。

阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候， 波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算， 阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念 在此之前． 阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。

后来， 阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学 他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地 就拿消费者的最优决策来说吧， 消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组合、这正好与逻辑学上的排序概念吻合。又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化， 当考虑时间因素时， 因为将来的价格是未知的 厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。我们知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。那么， 问题如何解决呢?一个自然的办法是由股东(按其占有股份多少)进行投票表决， 得票最多的方案获胜 这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察 结果轻而易举地举出了一个反例。

阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍 因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论， 是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在1785年提出的 但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知， 于是暂时放弃了进一步的研究。这是1947年。

次年， 在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会， 阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣： 他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后， 他在《政治经济学杂志》里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登， 这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以 严肃的 经济学研究为己任， 特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础 他认为在除此以外的“旁门左道’中深究下去会分散他的精力。

1949年夏天， 阿罗担任兰德公司(Rand)的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨([[]Helmer]]) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究， 但是有个问题令他感到十分棘手： 当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的， 但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他， 经济学家已经考虑过这个问题， 并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson)在1938年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题， 它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用 虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的， 但是阿罗告诉赫尔墨， 不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟， 请阿罗为他写一个详细的说明，当阿罗依嘱着手去做时， 他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好， 阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后， 阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然， 他很快就发现了这样一个结果； 几个星期以后， 他又对这个结果作进一步加强。

阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。

从1947年萌发胚芽到1950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折， 千呼万唤始出来， 而且颇有点 无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩， 这不能不说是耐人寻味的。

阿罗不可能定理指出，通过反映社会中所有个体的偏好而进行的民主投票是不能产生社会福利函数的。阿罗认为，任何建立在个人偏好基础上的公众决策机制必须满足一些基本要求：

一是集体理性。即如果所有个人的偏好具备完备性、传递性和自反性，则任何决策机制所导出的集体偏好也必须具备这些特性。

二是无限制性。公众决策机制不得排斥任何形式的个人偏好，只要该偏好具备完备性、传递性和自反性。

三是帕累托较优性。如果每个人都认为方案A比方案B优越，那么集体偏好也必须认为方案A比方案B优越。

四是偏好独立性。集体偏好对方案A和方案B之问的排名只取决于人们对这两种选择之间的排名，而跟人们对其他选择的排名无关。

阿罗不可能定理指出，完全满足上述条件的公众决策必然是一个独裁决策，即以一个人的偏好顺序代替所有的社会偏好顺序，而这与建立在个人偏好基础上的公众决策机制是相违背的。因此说，满足上述4项条件的公众决策机制是不存在的。

现在，西方经济学家们已经认识到，虽然阿罗不可能定理使福利经济学笼罩在一片悲观的气氛之中，但是它对福利经济学发展所起的作用却是很重要的。因为18和19世纪就已经有人注意到集体决策可能导致矛盾的结果，但直到阿罗才对这一问题给出了一个一般性的结论，免去了人们许多无谓的研究。更为重要的是，阿罗不可能性定理使西方经济学家们重新对社会选择问题进行了深入的研究，并试图寻找避免不可能性这一悲观结论的方法。经济学家的研究表明，阿罗不可能定理只适用于投票式的集体选择规则，并不具备普遍意义。

案例1：阿罗不可能定理——少数服从多数原则的局限性

　　案例适用：帕累托最优状态

　　案例内容：

　　在我们的心目中，选举的意义恐怕就在于大家根据多数票原则，通过投票推举出最受我们爱戴或信赖的人。然而，通过选举能否达到这个目的呢?1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理”。阿罗不可能定理是指在一般情况下，要从已知的各种个人偏好顺序中推导出统一的社会偏好顺序是不可能的。我们对此加以证明。

　　假定有张三、李四、王五三个人，他们为自己最喜欢的明星发生了争执，他们在刘德华、张学友、郭富城三人谁更受观众欢迎的问题上争执不下。张三排的顺序是刘德华、张学友、郭富城。李四排的顺序是张学友、郭富城、刘德华。王五排的顺序是郭富城、刘德华、张学友。到底谁更受欢迎呢?没有一个大家都认可的结果。如果规定每人只投一票，三个明星将各得一票，无法分出胜负，如果将改为对每两个明星都采取三人投票然后依少数服从多数的原则决定次序，结果又会怎样呢?

　　首先看对刘德华和张学友的评价，由于张三和王五都把刘德华放在张学友的前边，二人都会选择刘德华而放弃张学友，只有李四认为张学友的魅力大于刘德华，依少数服从多数的原则，第一轮刘德华以二比一胜出；再看对张学友和郭富城的评价，张三和李四都认为应把张学友放在郭富城的前边，只有王五一人投郭富城的票。在第二轮角逐中，自然是张学友胜出；接着再来看对刘德华和郭富城的评价，李四和王五都认为还是郭富城更棒，只有张三认为应该把刘德华放在前边，第三轮当然是郭富城获胜。

　　通过这三轮投票，我们发现对刘德华的评价大于张学友，对张学友的评价大于郭富城，而对郭富城的评价又大于刘德华，很明显我们陷入了一个循环的境地。这就是“投票悖论”，也就是说不管采用何种游戏规则，都无法通过投票得出符合游戏规则的结果。如果世界上仅限于选明星的事情就好办多了，问题在于一些关系到国家命运的事情的决定上，也往往会出现上述的“投票悖论”问题。对此很多人进行了探讨，但都没有拿出更有说服力的办法。

　　在所有人为寻找“最优公共选择原则”奔忙而无获的时候，美国经济学家阿罗经过苦心研究，在1951年出版的《社会选择与个人价值》提出他的不可能定理。并为此获得了1972年诺贝尔经济学奖。阿罗不可能定理的意思是，“只要给出几个选择者都必然会接受的前提条件，在这些前提条件的规定下，人们在一般或普遍意义上不可能找到一套规则(或程序)在个人选择顺序基础上推导出来”。由此进一步推出，在一般或普遍意义上，无法找到能保证所有选择者福利只会增加不会受损的社会状态。

　　阿罗所说的几个选择者必然接受的条件是：广泛性。至少有三个或三个以上的被选方案，以供选择者选择；一致性。既一定的社会选择顺序以一定的个人选择为基础，但必须符合公众的一致偏好；独立性。不相关的方案具有独立性；独立主权原则。对备选方案的选择和确定，应由公民完全依据个人的喜好而定，不能由社会强加；非独裁性。不能让每一个人的喜好决定整个社会对备选方案的排序顺序，应坚持自由和民主的原则。

　　阿罗认为上述五个相互独立的条件每一个都是必要的，但是要构造能同时满足这些条件的社会福利函数是不可能的。导致不可能的原因在于1—5个条件之间存在相互矛盾，因此不可能达到完全一致。他从中得出了一个似乎不可思议的结论：没有任何解决办法能够摆脱“投票悖论”的阴影，在从个人偏好过渡到社会偏好时，能使社会偏好得到满足，又能代表广泛的个人偏好这样一种排序方法，只有强制与独裁。这样寻找合理的社会选择机制的努力就几乎陷入了困境。

　　阿罗不可能定理，打破了一些被人们认为是真理的观点，也让我们对公共选择和民主制度有了新的认识。因为我们所推崇的“少数服从多数”的社会选择方式不能满足“阿罗五个条件”如市场存在着失灵一样，对公共选择原则也会导致民主的失效。因此多数票原则的合理性是有限度的。